20210206

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微分中值定理及导数应用

微分中值定理

  1. 费马引理,罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系及其本质。其中后三个定理的本质都是建立f(x)f'(x)的关系,为导数研究函数奠定基础。

  2. 泰勒公式

    • 皮亚诺型余项泰勒公式(局部泰勒公式)--> 主要研究 极限、极值
    • 拉格朗日型余项泰勒公式(整体泰勒公式) --> 主要研究 最值,证明不等式 这两个泰勒公式的本质为:1.建立函数与高阶导数的关系 2.用多项式逼近f(x)

导数应用

  1. 函数的单调性

  2. 函数的极值。这里要注意函数极值的判定(一个充分两个必要)。其中

    • 极值点不一定就是驻点,驻点也不一定是极值点。这句话更加准确的说法是:如果f(x)可导,那么极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。具体情况如下:不难看出一个函数可能取得极值的点有且只有两种一种就是导数为0的点一种就是导数不存在的点。

    • 一个必要两个充分。必要:如果可导,x0f(x)的极值点,那么f(x0)=0。充分1:f'(x)x0两侧变号;必要2:二阶可导,一阶导为0,那么二阶导小于0即为极大值点(对应凹),大于0即为极小值点(对应凸)。

  3. 函数的最大值与最小值
    求连续函数f(x)在区间[a,b]的最值方法:
    ①求出f(x)(a,b)内的驻点和不可导的点(其实就是找极值点)x1,x2...xn
    ②求出函数值f(x1),f(x2)...f(xn),,还有f(a),f(b)(两端点函数值)。
    ③然后比较以上各点函数值,最大即为最大值,最小即为最小值。
    值得注意的一点是:若连续函数f(x)(a,b)内有唯一极值点,则该如果为极大值/极小值,那么也是f(x)在这个区间内的最大值/最小值。为什么?,如下图:

而关于最大最小值的函数应用题,先建立目标函数f(x)然后按照上面步骤求出最值即可。

  1. 曲线的凹凸性

    • 凹定义:,即连接两点弦上中点的y坐标大于两点中点对应曲线y的坐标。
    • 凸定义:,即连接两点弦上中点的y坐标小于两点中点对应曲线y的坐标。
    • f''(x)>0->凹,f''(x)<0->凸。(二阶导数的正负判定曲线的凹凸性,一阶导数的正负刻画函数的增减性。
    • 拐点就是凹与凸的分界点。拐点是一个点,用坐标表示如:(x0,f(x0))。(不要只写横坐标!!)
    • 拐点的判定与极值点的判定是对应的,也是一个必要两个与两个充分。
  2. 曲线的渐近线:水平、垂直、斜渐近线。

  3. 函数的作图:

    • 定义域
    • y'
    • y''
    • 渐近线
  4. 曲线的弧微分与曲率(描述曲线在某点的弯曲程度)

    • 弧微分:
    • 曲率:
    • 曲率半径:就是曲率的倒数。

背单词

  • drastic 【adj.激烈的;急剧的;猛烈的】
  • transient 【adj.短暂的】
  • predecessor 【n.前任;前辈;原有事物】
  • analogy 【n.类比;类推;相似】
  • criterion 【n.标准;准则;规范】
  • influential 【adj.有影响力的】
  • inhale【v.吸入;吸气】
  • porter 【n.行李搬运工;守门人;(列车卧车的)服务生】
  • relish 【v.喜欢;享受;从..获得乐趣;n.享受;乐趣;调味品】
  • vigorous 【adj.精力充沛的;茂盛的】

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