20210206

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回顾常用麦克劳林公式及常用变形（等价无穷小）

微分中值定理及导数应用

微分中值定理

1. 费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系及其本质。其中后三个定理的本质都是建立f(x)与f'(x)的关系，为导数研究函数奠定基础。

2. 泰勒公式

   • 皮亚诺型余项泰勒公式（局部泰勒公式）--> 主要研究 极限、极值
   • 拉格朗日型余项泰勒公式（整体泰勒公式） --> 主要研究 最值，证明不等式 这两个泰勒公式的本质为:1.建立函数与高阶导数的关系 2.用多项式逼近f(x)

导数应用

1. 函数的单调性

2. 函数的极值。这里要注意函数极值的判定（一个充分两个必要）。其中

   • 极值点不一定就是驻点，驻点也不一定是极值点。这句话更加准确的说法是：如果f(x)可导，那么极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。具体情况如下：不难看出一个函数可能取得极值的点有且只有两种一种就是导数为0的点一种就是导数不存在的点。

   • 一个必要两个充分。必要：如果可导，x0为f(x)的极值点，那么f(x0)=0。充分1：f'(x)在x0两侧变号；必要2：二阶可导，一阶导为0，那么二阶导小于0即为极大值点（对应凹），大于0即为极小值点（对应凸）。

3. 函数的最大值与最小值
   求连续函数f(x)在区间[a,b]的最值方法：
   ①求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导的点（其实就是找极值点）x1,x2...xn
   ②求出函数值f(x1),f(x2)...f(xn),，还有f(a),f(b)（两端点函数值）。
   ③然后比较以上各点函数值，最大即为最大值，最小即为最小值。
   值得注意的一点是：若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一极值点，则该如果为极大值/极小值，那么也是f(x)在这个区间内的最大值/最小值。为什么？，如下图：

而关于最大最小值的函数应用题，先建立目标函数f(x)然后按照上面步骤求出最值即可。

4. 曲线的凹凸性

   • 凹定义：，即连接两点弦上中点的y坐标大于两点中点对应曲线y的坐标。
   • 凸定义：，即连接两点弦上中点的y坐标小于两点中点对应曲线y的坐标。
   • f''(x)>0->凹，f''(x)<0->凸。(二阶导数的正负判定曲线的凹凸性，一阶导数的正负刻画函数的增减性。
   • 拐点就是凹与凸的分界点。拐点是一个点，用坐标表示如：(x0,f(x0))。（不要只写横坐标！！）
   • 拐点的判定与极值点的判定是对应的，也是一个必要两个与两个充分。

5. 曲线的渐近线：水平、垂直、斜渐近线。

6. 函数的作图：

   • 定义域
   • y'
   • y''
   • 渐近线

7. 曲线的弧微分与曲率（描述曲线在某点的弯曲程度）

   • 弧微分：
   • 曲率：
   • 曲率半径：就是曲率的倒数。

背单词

• drastic 【adj.激烈的；急剧的；猛烈的】
• transient 【adj.短暂的】
• predecessor 【n.前任；前辈；原有事物】
• analogy 【n.类比；类推；相似】
• criterion 【n.标准；准则；规范】
• influential 【adj.有影响力的】
• inhale【v.吸入；吸气】
• porter 【n.行李搬运工；守门人；（列车卧车的）服务生】
• relish 【v.喜欢；享受；从..获得乐趣；n.享受；乐趣；调味品】
• vigorous 【adj.精力充沛的；茂盛的】

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昨天看到Apple最新的公众号推送了年度歌单，一眼就看到杨千嬅，以杨千嬅为主角的一个主题为“关于爱”的歌单，分享给自己。