20210130

导数与微分(一) | 新书到了

导数的概念

  1. 导数实际上就是变化率(所以高数课本引入的例子一般为变速直线运动的瞬时速度,曲线在这一点的切线的斜率等)
  2. 导数的定义有几种形式:
  • 增量形式
  • 做题的时候根据题目条件选用最合适的导数定义形式即可!
  1. 左右导数的定义。导数跟这一点有关,又因为Δx有正有负,所以这一点导数既跟这一点函数值有关,也跟这一点左右邻域函数值有关
  2. 定理:函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件使它在该点处左导数和右导数都存在且相等。

这个定理常用于分段函数在分界点处是否可导以及求导数值~

  1. f(x)在区间(a,b)内可导,且 都存在,则称f(x)在区间[a,b]上可导。
  2. 复习全书基础篇P32例1,就是典型的运用上面的定理即分段函数在分界点是否可导的问题,那么具体到题目中就是求x=1处左右导数,值得注意的是,在运用左右导数定义求左右导数结果的是,求右极限的时候f(1)的值仍是代入 求,而并非代入 x2 中求,因为1这一点只定义在 上。
  3. 复习全书基础篇P32例2,这类题型一般要用定义做。首先根据题目条件选择最合适导数定义形式,很明显题目所给条件f(1+x) = af(x),则选择增量形式的导数定义形式,然后利用 的定义,再根据题目条件进行结果的转换即可。(这道题典型的考导数定义的题目)

微分的概念

  1. dy = AΔx。微分是什么?实际上dy就是函数改变量的近似值(即函数的增量的近似值),即dy≈Δy。再具体讲就是微分是函数改变量的“线性主部”(1.线性函数 2. 主要部分),可以参考高数书P84的正方形金属薄片膨胀的例子。
  2. 定理:函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是:f(x)在点x0处可导,且有:

这个定理的伟大意义在于把可微性的判定归结为可导性的判定(把微分的计算归结为导数的计算)

  1. 复习全书基础篇P33例3,得到一个更加一般的结论:如果 ≠ 0,则dyΔx为同阶无穷小。(如果这一点导数不为0,微分与自变量改变量为同阶无穷小。)

导数与微分的几何意义

  1. 导数 在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。
  2. 微分 在几何上表示曲线y=f(x)的切线上的增量。
  1. 复习全书基础篇P33例4,搞清楚逻辑关系。先由垂直的这条直线求得切线方程的斜率,再由斜率得到这一点的x,y坐标,最后列出切线方程即可。

连续、可导、可微之间的关系

  1. 值得注意的是,可导可微与连续的关系是一样的,因为可导肯定能推出可微,可微肯定能推出可导。
  1. 上面这个反例用来证明n阶可导推不出n阶导函数存在,对应题目可以有第一章中的例33中的使用洛必达法则的时候注意事项。
    • f(x)n阶可导:
    • f(x)有n阶连续导数:

这道题二阶可导,只能用到2-1阶,即只能洛必达一次,不能再用第二次了,接下来如果还是0/0型极限,再用导数的定义即可。

  1. 复习全书基础篇P34例5,分析题目的考点?在某点可导的定义是什么?具体到题目,要运用题目的条件,不难先发现C、D选项,因为可导,可导一定连续,连续极限一定存在且为这一点的函数值,那么题目所给条件即可等价于f(0)=0接着进行等式的变形即可。这道选择题还可以采用排除法,选择具体的函数进行排除,比如说A选项可举f(x)=|x|,D选项举f(x)=x即可。

书到了

李诞的书到了,《候场》献给大家,也献给我自己。