20210428

回顾 | 数据结构-树(一)

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恋词复习

数据结构-树(一)

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定义

树(Tree) 是n(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中: (1)有且仅有一个特定的称为 根(Root) 的结点;
(2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集$T_1$$T_2$、……、$T_m$,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(SubTree)

子树$T_1$和子树$T_2$就是根结点A的子树。D、G、H、I组成的树又是B为根结点的子树,E、J组成的树是以C为根结点的子树。

树的定义还要强调两点:

  1. n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,
  2. m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。下图中的两个结构就不符合树的定义,因为它们都有相交的子树
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结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(De-gree)。度为0的结点称为叶结点(Leaf)终端结点;度不为0的结点称为非终端结点分支结点。除根结点之外,分支结点也称为内部结点树的度是树内各结点的度的最大值

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结点的度的最大值是结点D的度,为3,所以树的度也为3


结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child),相应地,该结点称为孩子的双亲(Parent),同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙

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树的其他相关概念

结点的层次(Level) 从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层。若某结点在第i层,则其子树就在第i+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度

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如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的,不能互换的,则称该树为有序树,否则称为无序树。森林(Forest) 是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言,其子树的集合即为森林

线性表与树的结构:

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例题

  1. 408,10年05题
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度为4的树:

度:某个节点的子节点个数
叶结点:度为0的结点
度为4的树,说明该树中结点的子结点最多为4个
树中结点总个数=(所有的结点的度数)+1
在树中,除了根节点没有前驱结点,其他节点有且只有一个前驱结点(树的定义)
又∵ 父结点的‘度’是子结点的个数,而每个子结点前驱结点都是该父结点
因此,所有结点的“度”加起来,就是把所有结点子结点的个数加起来,又因为,根结点没有父节点,所以所以没有把根结点算计进来,于是:树中结点总个数=(所有的结点的度数)+1(根节点)
推广→ 一个森林的所有结点数=(所有结点的度数+n(n棵树,每棵树只有一个根节点)

->sum(所有结点个数)=20x4+10x3+1x2+10x1+1(根结点)=123个结点 ->sum(叶子节点个数)=123-20-10-1-10=82


  1. 例题
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(1)可用根的生长法,一步步找出规律。如图:

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(2)
什么时候最少?显然除第一层以外,其余每层k个结点的时候,总结点数最少,为1+k(h-1)个。
什么时候最多呢?即满k叉树情况,即每层结点数前后构成了等比数列:$1+k^{1}+k^{2}+k^{n-1} = k^{n-1}/k-1$


顺序存储结构

二叉树的顺序结构是用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系,比如双亲与孩子的关系,左右兄弟的关系。

双亲存储结构

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typedef struct
{
int data;
int pIdx;
}TNode;
TNode tree [maxsize];
tree[0].data = A1;
tree[0].pIdx = -l;
tree[1].data = A2;
tree[1].pIdx = 0;
tree[2].data = A3;
tree[2].pIdx = 0;
tree[3].data = A4;
tree[3].pIdx = 0;
tree[4].data = A5;
tree[4].pIdx = 1;
tree[5].data = A6;
tree[5].pIdx = A1;

简化形式(考研中常考形式):与数组下标对应(->数据元素)

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int tree[maxSize];
tree[0] = -l;
tree[1] = 0;
tree[2] = 0;
tree[3] = 0;
tree[4] = 1;
tree [5] =l;

链式存储结构

孩子存储结构和孩子兄弟存储结构。(孩子兄弟存储结构先不讲)

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typedef struct Branch
{
int cIdx;
Branch* next;
}Branch;
typedef struct
{
int data;
Branch* first;
}TNode;