20210315

回顾

准备做常考例题与题型的时候，发现利用定积分定义求极限的题目不太懂，那么归根到底就是定积分的定义没搞懂。那么就是自学阶段，找到一个说的不错的文章。听完武忠祥老师之后我也再去听了杨超老师关于这部分的讲解，豁然开朗，复盘一下。

首先就是定义：什么是定积分。

那么定积分用公式表示就是：

对于定积分的定义，我们知道有四个步骤：

分割、近似、求和、取极限。

其中，分割是任意的分割，想怎么分就怎么分，任意分！分割的目的在于第二步的代替。

代替什么呢？就是“化曲为直”，用直线来近似代替那段曲线，为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了？就是因为第一步的分割呀！因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小，小的让在小区间内随便取一点，代入到被积函数中，它的值都一样！既然都一样了，此时就可以将曲线看成直线了，此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积，宽就是小区间长度，长就是将这一点代入被积函数后的值。

那么，考研里面对定积分的定义怎么考呢？这里借用杨超老师的言论：“考研里面是对定积分的定义做了两步的改进！”哪两步呢？就是第一步的分割和第二步的近似！

大家对照着上面的图一，看看上面讲的n等分法，这就是考研里面的特殊分割！你之前是任意分割，现在我就取个特殊，我将这个区间分成n等份，每一份的区间长度都是n分之一。

而近似呢，你之前的定义是说取小区间的任意一点，我这时候就取个特殊点，我取每个小区间的右端点！把这个右端点代入到被积函数中，用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值，即：

正是因为有了上面两步的特殊改进，才有了下面的0到1区间上的积分表达式：

对于这个积分表达式！

你要想明白1/n代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个宽！

小f这个函数代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个长！

因此，对于若干项和的极限，你关注的焦点就是在这两个因子上！即提取配凑出这面积微元！

定积分（二）

常考题型与典型例题。

• 定积分的概念、性质及几何意义。
• 定积分的计算
• 变上限定积分

定积分的概念性质、性质及几何意义

• 例题1 。拿这道题来回顾一下定积分最重要的定义，嗯就是怎么去一步步求定积分的步骤！这部分很重要!，在上面回顾的时候已经重点复习了定积分的定义，那么其实这类利用定积分定义求和式极限的题目很多，但是都有比较一般的特点，就是：
  • 分子齐（都是1次或0次）；
  • 分母齐（都是2次）；
  • 分母比分子多一次； 这道题除了可以用定积分定义做，当然也可以硬做，如图，要利用到之前提到的一个基本不等式：$x/(1+x) ＜ ln(1+x) < x$。

而最简单的方法还是利用定积分的定义，将“可爱因子”提出。找原函数，简略答案如图： 。

当然类似的题还有很多，比如：

相同的方法，一样的逻辑。

• 例题2， ,同样也是凑可爱因子，可是这题外面有个n，所以要往外提$1/n^2$才能凑到可爱因子，接下来就是找原函数，比较容易。
• 例题3，。同理这道题也能看出是可以用用定积分定义所求的和式极限，那么这道题在凑可爱因子时，只需把其中一个$1/n$放进去，就可以凑得，从而找到原函数。
• 例题4， ,同样这道题也是求和式极限的一道题，把可爱因子提出即可得到原函数从而解决，比较容易！

背单词

• tropic 【n.回归线；热带 adj.热带的】
• snap 【v.突然断裂；噼啪作响；猛然咬；快速地 adj.突然的；匆忙的】
• invasion 【n.侵犯；侵略】
• bureaucracy 【n.官僚主义；官僚机构】