20210305

回顾

先来说一个问题，昨天在回顾三大计算的题目的时候，遇到等价无穷小求极限里面的一道题，一下子有点懵，懵的原因是：等价无穷小的替换都能在根号下进行吗?

这道题是： ,根号里面能不能直接用等价无穷小替换为 ，我来学校做题目的时候就突然懵住了,等价无穷小不是只能用于乘除法或者一定关系下的加减法吗，根号？

知乎上面有个答案有点豁然开朗，嗯，做人不能这么死板！那么显然可知在这道题里面可以用等价无穷小替换根号中的东西！

• apparatus 【n.装置；仪器；器械；器官】
• vulgar 【adj. 庸俗的】
• vulnerable 【adj.脆弱的；易受伤的】
• reckless 【adj.鲁莽的；不计后果的】
• indifferent 【adj.不感兴趣的；不关心的；水平一般的】
• terrific 【adj.极好的；异乎寻常的；大得惊人的】
• frank 【adj.坦率地；真诚地】
• exaggerate 【v.夸张；夸大】
• trivial 【adj.不重要的；琐碎的；微不足道的】
• mortgage 【n.v 抵押按揭】
• scorn 【n.v 蔑视】
• reconcile 【v.使和解；使和好；调和】
• swarm 【n.群；蜂群； v.云集；充满】
• shove 【v.挤；推；撞】

回顾660的题目

做完前15道题之后非常开心的是，我终于没有浪费660的题目，虽然说过很多次，但是还是在这里想说一下，660的题目非常好，但是我强烈建议不要一开始就做，因为你不会，然后你就干做，然后去翻答案，然后这道题就浪费了。我是在做了杨超的三大计算之后现在再去做660的题目，效果好多了。我已经完全不记得这道题的出现，但是凭借着做三大计算的题目，我觉得我有了更扎实的基础，并且做了很多相关方法的题目，果然，现在做660就像是品尝着一道好菜，我真的好开心，虽然还有一些题目做不出来，但是我的目的达到了。不忍住说一声我爱杨超。

千万不要在任何做题基础的时候觉得这是一道好题目，太天真了，这种思想有点像不懂装懂。我从来没有觉得自己很厉害，所以听到基础题目，我也是很谦虚地去完成，我也相信只有这样，你才慢慢具备做好题的资本。

嗯，这段话有点像表扬我自己，但是我觉得自己认可自己是一件很难得的事情，所以今天好开心。

说回正题吧。

• 660填空题T3： ，容易看的出来，直接用泰勒就完了，记得留意一下分母展开到哪一项目，然后上下同阶即可。不用花里胡哨，老老实实泰勒公式，踏实踏实！

• 660填空题T4： ,这道题想提醒的是解题方法，比较用于判断当x->+∞的时候，整个极限是1的∞型极限，用“三步曲”。今天做题看到这里我也大概知道怎么做了，可是竟然忘了三步曲的详细步骤！回顾一下（真不长记性）

  • ①写标准形式，原式 =
  • ②求极限：
  • ③写结果。原式 =

过程就不写出来了，还是比较简单的，重点还是要找出α(x)和β(x)即可，这道题要加1减1。

• 660填空题T5： ,判定类型，选择方法，很明显是∞-∞型。那么通过∞-∞转换为0/0型或∞/∞的一般方法有：
  • 有根号就有理化。
  • 有分式就通分。
  • 要么进行倒代换。
    然后你会发现这道题好像每一条路都走不通。=)，没有分母，有理化开6次方很麻烦，倒代换也是开6次方很麻烦。

然后现在做了比较多的题目之后发现这类高次方的题目的方法好像都是类似。这道题可以先把6次方开出来（为了凑 ），根号下面就简单多了，接着泰勒公式就可以完成这道题目了，嗯，如果想不出来这种方法，估计有够折腾的。还是多做题，多总结才是实际，我也再多做一遍吧。

• 660填空题T6： ,判别类型选择方法，0/0型，嗯根据“我现在的做题经验”，分母都给出了这么明显的x4，那么分子直接泰勒展开到四次方即可。但是660的题目哪只那么简单，分子化简到 这里的时候，其实不难看出，能统一展开的只能到x3项，不用感到奇怪，分子泰勒展开下去，发现分子只剩下一个o(x3)，那么其实就等于o(x4)，与分母相对应，那么结果就是0。

• 660填空题T7： 。看起来很吓人，但往往这种题是比较简单的，但是要知道一个公式⚠：，算是为1-cosx的推广，可以证出来的。那么这道题其实就差不多做出来了，分子分母该约的约掉，即可得出答案为n!。

• 660填空题T8： ,判别类型选择方法，∞0型。
  那么也在这里总结一下，遇到∞0型、00型 方法一般为幂指函数指数化，转换为求g(x)lnf(x)的极限。
  这道题也是如此，其实幂指函数指数化转换为求g(x)lnf(x)的极限。就是为了转换成为 ，接着下一步方法就多了去了，最后还是回到了这里，洛必达也好，泰勒也好哪个更适用就选哪个。

• 660填空题T10： 。判别类型选择方法，∞·0型,转换为 。
  但是这道题显然不好转换，很容易看出来就算把 x2 掰下去了，上面还是很难处理，洛必达不了，也泰勒不了。
  其实这种题也是经验，遇到 这种类似，一般要把后面的提取出来为了凑等价无穷小： ,记住了。
  那么这道题基本也就完成了，凑出来之后简单运算即可得出答案。
  当然当然，现在返回来之后我才明白拉格朗日中值定理（以前根本不懂）有多好用，这题也不难看出来能够直接用拉格朗日中值定理，比上面的方法要快多了！

• 660填空题T11： ，判定类型选择方法，0的0次方型，改写e。幂指函数指数化，然后选择方法即可，这里采用的是洛必达求极限。

• 660填空题T12： ,判定类型选择方法。∞·0型，掰下来之后选择洛必达，泰勒公式，或者等价无穷小。但是因为是数列极限的关系，不能选择洛必达这个方法。那么这道题重新做的时候，我用了泰勒还比较简便；直接展开到合适的项即可，当然你也可以转换为函数不等式来使用洛必达。第二种方法就是这次我学了后面再做这道题的时候我一看就觉得能用拉格朗日中值定理，也是比较快的方法。

• 660填空题T13： ，这道题在判定类型选择方法的时候因式中出现了1的∞次方极限，那么可以利用三步曲快速判定整个极限为∞·0型极限。这里要提一个问题，是我在这次做题所遇到的，就是虽然有因式中出现了1的∞次方极限，但是这里求极限的时候不能直接用，会和√e抵消也就没意义了，那么其实同理可以幂指函数指数化的。这里幂指函数指数化之后又能与√e进行公因式的提取从而凑等价无穷小，之后利用泰勒还是等价无穷小也能做出来了。

• 660填空题T14： ,这种题解题方法就几个，一个是凑，一个是运用极限运算法则的推论来解决。

但是这道题有个很经典的错误，虽然造成最终的答案可能会没错，但是还是值得注意一下，就是使用等价无穷小的条件是否成立这个问题。

• 660填空题T15： ,这道题和14题类似，但用的是凑的方法，但这次我选择是用泰勒公式，也比较简单，不在这里展开说明。

背单词

• gamble 【n.v 赌博；冒险；打赌】
• exhibit 【v.展览；陈列；展示 n.展品；展览】
• therapy 【n.治疗；疗法】
• plunge 【v.投入；跳入 n.跳进；骤降】
• concede 【v.承认（失败）；让步】
• belt 【n.腰带；皮带；传送带】
• qualitative 【adj.性质的；定性的】
• stain 【n.污点；v.玷污】
• startle 【v.使惊动；使惊愕；使吃惊】