20210202

导数与微分（三）| 背单词 | 《候场》

高阶导数

  1. 高阶导数的概念。有一点结论：如果f(x)在点x处n阶可导，则在点x的某邻域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数。 为什么？ 可以看出这一点的n阶导数存在，n-1阶不但这一点要存在，邻近也要存在，那么n-2,n-3...也是如此，所以才有了上面的结论。 比如：如果一个函数在一个点上 即在这一点上二阶导数存在，那就可以推出在这一点上邻域里面f'(x0)即一阶都存在。

  2. 常用的高阶导数公式

  • 给了一个函数，求他的n阶导数方法有：①公式法（能用公式就用公式）②求y'，y''，归纳y(n)。
  • 复习全书基础篇P36例14，y=sin3x不是y=sinx，不要以为能推广，不能用公式法。只能用归纳法，即求出一阶二阶导数找出原函数的关联即可。这道题还可以推出一个更一般的结论：y=sin(ax+b) --> y(n)=sin(ax+b+n·Π/2)·an
  • 复习全书基础篇P36例15，这道题很明显能用公式法，两个函数相乘的公式以及(cosx)(n)的公式，且留意到u=x2，(求导求到三次之后就是0了，所以只有三项)，v=cosx，即最后累加项只有三项，接着计算出结果即可。

第二章常考题型与典型例题

  • 导数定义
  • 复合函数、隐函数、参数方程求导
  • 高阶导数
  • 导数应用
  1. 导数定义（常考题型！）
    • 分段函数在分界点处的函数。
    • 已知f'(x0)存在，求极限。
    • 已知极限求f'(x0)。
    • 抽象函数f(x)可导性未知，求f'(x0)或f'(x)。

复习全书基础篇P37例16，复习全书基础篇P36例17，都是“导数存在”型，求极限，最重要的思想是凑导数定义的形式，缺项就给他加项、减项。 这种方法都是直接法，还可以用抽象函数具体化的方法，找到最符合题目条件的最简单的具体函数进行排除法。

左边是例16： 右边是例17：
。

不难看出都是利用已知某点导数存在（或某点导数的值），然后利用其定义去凑所求极限，套路很简单，所以看到这类题要敏感，要知道要用定义。

当然其实也可以用第二种方法，抽象函数具体化找最简单最符合题目条件的函数，然后使用排除法。
例16,f'(x0)=-1，什么函数导函数值都等于一个常数-1呢，很容易想到f(x)=-x,然后代进去算即可。
例17,f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，最容易想到不就是f(x)=x,然后代进去算即可。
但是这种方法仅仅适合于选择题和填空题，其他题不要乱用。

复习全书基础篇P37例18，这道题可导性未知。所以可以从所要求的极限入手，展开式子，不难发现所求极限就是f(x)在0点处的导数,而关于f(x)是由方程确定，很明显是用隐函数求导方法能解出y'，也就是f'(x),然后将x=0，y=1这一点代入求出f'(0)即可。

复习全书基础篇P37例19，这道题则是用具体函数考我们具体函数在某一点处的定义。当然可以用左右导数存在并相等去做，但是没有必要。可以不用分左右极限。如图：

复习全书基础篇P37例20，这道题先要搞清楚逻辑关系。题目的意思是，ABCD选项中哪个能推出f(x)在x=a处可导。

A选项，h->+∞，把h掰下去，式子就只能推出f(x)在a的右导数存在。
B选项，n->∞，数列极限，其实n也就是->+∞，也只能推出右导数存在。
D选项，将分母顺序调换，f(a-h)-f(a)，则分子在前面添负号，但同样-h->0，-h可以有正有负，所以可以推出。
而C选项为什么不可以，看图：

很明显利用导数定义凑形式之后，利用有理运算法则尝试做减法之后，如果其中其中一个极限存在都可以证明导数存在，但是C选项总的存在根本就推不出其中一个存在。所以C选项是推不出来的。

  1. 复合函数、隐函数、参数方程求导
  • 复合函数求导，先处理外层，再逐层深入。比如复习全书基础篇P37例21，这是一个半抽象显函数的求导，且求的的是二阶导，那么逐层深入即可，其中在求第二次导的时候遇到三项乘法求导，方法就是按照两项乘法求导推广即可，比如23项不变，1求导；13项不变，2求导；12项不变，3求导。
  • 隐函数的求导方法就是两边对x求导，记住y是x的函数，然后解出所需阶级导数即可，如果求具体点的导数，则把具体点代入即可。复习全书基础篇P38例21，这道题则是等式两边对x求两次导，然后代入点计算即可。
  • 参数方程求导的方法在前面已经说过了，怎么来也说过了，重点是要理解不要背公式！记住求导是谁对谁求导，等式两边要“公平对待”。
  1. 高阶导数 关于求n阶导数的方法前面也已经说过了。
  2. 公式法。不要盲目推广，也就只有那么几个公式，能用公式用公式。
    • 复习全书基础篇P38例25，能利用莱布利兹公式进行求，最后计算即可得出结果。
  3. 归纳法，先求y'，再求y''，最后归纳y(n)。
    • 复习全书基础篇P38例24，不能用公式就用归纳法。这道题分数写成负指数形式会更加好归纳一点。
  1. 导数的应用 （一）导数的几何意义
    其实就是求切线，法线方程的问题，而归根到底就是求斜率的问题，也就是求某一点导数的问题。
  • 复习全书基础篇P38例26，点有了，曲线有了，只要求得曲线方程的导数方程代入点即可得到斜率，这道题很明显能用隐函数求导的方法求得。
  • 复习全书基础篇P38例27，归根到底就是参数方程求导和求切线的综合。
  • 复习全书基础篇P38例28，表面看上去是极坐标方程，但是通过x=ρcosθ,y=ρsinθ可以转换为参数方程，接着又是参数方程求导的问题。

（二）相关变化率的问题
知道其中一个量关于🔺的变化率，求另一个量关于🔺的变化率的问题。方法就是把这两个量的关系建立起来，然后等式两边对🔺求导，就能得出结果。
复习全书基础篇P38例29，也是如此，已知横坐标x对时间t的变化率 ，求l对时间t的变化率 。而易得 ，又已知y=x3，所以就可以建立起x和l的关系， ，最后等式两边对t求导即可，

背单词

  • concrete 【adj.确实具体的；有形的；混凝土的 n.混凝土；具体物质】
  • contrive【v.图谋；发明；涉及；设法做到】
  • timid【adj.胆小的；羞涩的】
  • interior 【adj.内部的；里面的】
  • insight 【n.洞察力；见识】
  • fasten 【v.拴紧；使牢固】
  • boycott 【v.n 抵制；拒绝参加】
  • conjunction 【n.联合；连接词】
  • locker 【n.（有锁的）寄物柜；锁柜；上锁的人】
  • pole 【n.两极的一端；杠子】
  • remedy 【n.疗法；纠正方法 v.纠正；治疗】
  • temperament 【n.气质；性情；易激动；急躁】

李诞的《候场》

这本书到了三天了，这几天中午到图书馆之后都会看那么十五分钟到半个小时才去学习，本来是想着去看书，没想到让自己静下来半个小时再学习的效率竟然会高一点。

说回正题，我不是很看得懂。但是好像又能看得懂，确切的说我不想去看懂。

我的人生阅历好像并没有能够去读这本书的时候，如果强硬的去接收书中的东西，好像会显得很装x。所以我就像一个倾听者一样听着一个叫李诞的人说着他的故事，没有任何意见，没有任何自己的想法，只想看看他是怎么说的，过一阵子再说说一点点就那么一点点的读后感吧。