20210202

导数与微分(三)| 背单词 | 《候场》

高阶导数

  1. 高阶导数的概念。有一点结论:如果f(x)在点x处n阶可导,则在点x的某邻域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数。 为什么? 可以看出这一点的n阶导数存在,n-1阶不但这一点要存在,邻近也要存在,那么n-2,n-3...也是如此,所以才有了上面的结论。 比如:如果一个函数在一个点上 即在这一点上二阶导数存在,那就可以推出在这一点上邻域里面f'(x0)即一阶都存在。

  2. 常用的高阶导数公式

  • 给了一个函数,求他的n阶导数方法有:①公式法(能用公式就用公式)②求y'y'',归纳y(n)
  • 复习全书基础篇P36例14y=sin3x不是y=sinx,不要以为能推广,不能用公式法。只能用归纳法,即求出一阶二阶导数找出原函数的关联即可。这道题还可以推出一个更一般的结论:y=sin(ax+b) --> y(n)=sin(ax+b+n·Π/2)·an
  • 复习全书基础篇P36例15,这道题很明显能用公式法,两个函数相乘的公式以及(cosx)(n)的公式,且留意到u=x2,(求导求到三次之后就是0了,所以只有三项),v=cosx,即最后累加项只有三项,接着计算出结果即可。

第二章常考题型与典型例题

  • 导数定义
  • 复合函数、隐函数、参数方程求导
  • 高阶导数
  • 导数应用
  1. 导数定义(常考题型!)
    • 分段函数在分界点处的函数。
    • 已知f'(x0)存在,求极限。
    • 已知极限求f'(x0)
    • 抽象函数f(x)可导性未知,求f'(x0)f'(x)

复习全书基础篇P37例16,复习全书基础篇P36例17,都是“导数存在”型,求极限,最重要的思想是凑导数定义的形式,缺项就给他加项、减项。 这种方法都是直接法,还可以用抽象函数具体化的方法,找到最符合题目条件的最简单的具体函数进行排除法。

左边是例16 右边是例17

不难看出都是利用已知某点导数存在(或某点导数的值),然后利用其定义去凑所求极限,套路很简单,所以看到这类题要敏感,要知道要用定义。

当然其实也可以用第二种方法,抽象函数具体化找最简单最符合题目条件的函数,然后使用排除法。
例16,f'(x0)=-1,什么函数导函数值都等于一个常数-1呢,很容易想到f(x)=-x,然后代进去算即可。
例17,f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,最容易想到不就是f(x)=x,然后代进去算即可。
但是这种方法仅仅适合于选择题和填空题,其他题不要乱用。


复习全书基础篇P37例18,这道题可导性未知。所以可以从所要求的极限入手,展开式子,不难发现所求极限就是f(x)在0点处的导数,而关于f(x)是由方程确定,很明显是用隐函数求导方法能解出y',也就是f'(x),然后将x=0,y=1这一点代入求出f'(0)即可。


复习全书基础篇P37例19,这道题则是用具体函数考我们具体函数在某一点处的定义。当然可以用左右导数存在并相等去做,但是没有必要。可以不用分左右极限。如图:


复习全书基础篇P37例20,这道题先要搞清楚逻辑关系。题目的意思是,ABCD选项中哪个能推出f(x)在x=a处可导

A选项,h->+∞,把h掰下去,式子就只能推出f(x)在a的右导数存在。
B选项,n->∞,数列极限,其实n也就是->+∞,也只能推出右导数存在。
D选项,将分母顺序调换,f(a-h)-f(a),则分子在前面添负号,但同样-h->0-h可以有正有负,所以可以推出。
而C选项为什么不可以,看图:

很明显利用导数定义凑形式之后,利用有理运算法则尝试做减法之后,如果其中其中一个极限存在都可以证明导数存在,但是C选项总的存在根本就推不出其中一个存在。所以C选项是推不出来的。


  1. 复合函数、隐函数、参数方程求导
  • 复合函数求导,先处理外层,再逐层深入。比如复习全书基础篇P37例21,这是一个半抽象显函数的求导,且求的的是二阶导,那么逐层深入即可,其中在求第二次导的时候遇到三项乘法求导,方法就是按照两项乘法求导推广即可,比如23项不变,1求导;13项不变,2求导;12项不变,3求导。
  • 隐函数的求导方法就是两边对x求导,记住y是x的函数,然后解出所需阶级导数即可,如果求具体点的导数,则把具体点代入即可。复习全书基础篇P38例21,这道题则是等式两边对x求两次导,然后代入点计算即可。
  • 参数方程求导的方法在前面已经说过了,怎么来也说过了,重点是要理解不要背公式!记住求导是谁对谁求导,等式两边要“公平对待”

  1. 高阶导数 关于求n阶导数的方法前面也已经说过了。
  2. 公式法。不要盲目推广,也就只有那么几个公式,能用公式用公式。
    • 复习全书基础篇P38例25,能利用莱布利兹公式进行求,最后计算即可得出结果。
  3. 归纳法,先求y',再求y'',最后归纳y(n)
    • 复习全书基础篇P38例24,不能用公式就用归纳法。这道题分数写成负指数形式会更加好归纳一点。

  1. 导数的应用 (一)导数的几何意义
    其实就是求切线,法线方程的问题,而归根到底就是求斜率的问题,也就是求某一点导数的问题。
  • 复习全书基础篇P38例26,点有了,曲线有了,只要求得曲线方程的导数方程代入点即可得到斜率,这道题很明显能用隐函数求导的方法求得。
  • 复习全书基础篇P38例27,归根到底就是参数方程求导和求切线的综合。
  • 复习全书基础篇P38例28,表面看上去是极坐标方程,但是通过x=ρcosθ,y=ρsinθ可以转换为参数方程,接着又是参数方程求导的问题。

(二)相关变化率的问题
知道其中一个量关于🔺的变化率,求另一个量关于🔺的变化率的问题。方法就是把这两个量的关系建立起来,然后等式两边对🔺求导,就能得出结果。
复习全书基础篇P38例29,也是如此,已知横坐标x对时间t的变化率 ,求l对时间t的变化率 。而易得 ,又已知y=x3,所以就可以建立起xl的关系, ,最后等式两边对t求导即可,


背单词

  • concrete 【adj.确实具体的;有形的;混凝土的 n.混凝土;具体物质】
  • contrive【v.图谋;发明;涉及;设法做到】
  • timid【adj.胆小的;羞涩的】
  • interior 【adj.内部的;里面的】
  • insight 【n.洞察力;见识】
  • fasten 【v.拴紧;使牢固】
  • boycott 【v.n 抵制;拒绝参加】
  • conjunction 【n.联合;连接词】
  • locker 【n.(有锁的)寄物柜;锁柜;上锁的人】
  • pole 【n.两极的一端;杠子】
  • remedy 【n.疗法;纠正方法 v.纠正;治疗】
  • temperament 【n.气质;性情;易激动;急躁】

李诞的《候场》

这本书到了三天了,这几天中午到图书馆之后都会看那么十五分钟到半个小时才去学习,本来是想着去看书,没想到让自己静下来半个小时再学习的效率竟然会高一点。

说回正题,我不是很看得懂。但是好像又能看得懂,确切的说我不想去看懂。

我的人生阅历好像并没有能够去读这本书的时候,如果强硬的去接收书中的东西,好像会显得很装x。所以我就像一个倾听者一样听着一个叫李诞的人说着他的故事,没有任何意见,没有任何自己的想法,只想看看他是怎么说的,过一阵子再说说一点点就那么一点点的读后感吧。