抽象矩阵求逆矩阵

解法

1. 常规解法：「凑」,从高次幂到低次幂依次凑，但不是强硬的凑。当涉及到两个矩阵的时候，要学会用左乘或者右乘某个矩阵的逆（=E）来达到凑的效果。
2. 先斩后奏法：先凑出结果，再装模作样写过程。这个方法在B站上看到的，觉得比较适合用于选择题或者填空题，或者遇到一些你想不出来怎么凑的题目的时候，下面会细说。

常规解法

例题1

已知n阶矩阵 A 满足 A²(A - 2E) = 3A + E,证明 A+E 可逆，并求 (A+E)^-1。

解：由已知得  
A²(A-2E)-3A-E=0  
-> A³-2A²-3A-E=0  
-> (A³+A²)-3A³-3A-E=0  
-> A²(A+E)-3(A²+A)=E  
-> A²(A+E)-3A(A+E)=E  
-> (A²-3A)(A+E)=E  

所以 A+E 可逆，且(A+E)-1 = A²-3A。

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例题2

若矩阵A满足等式 A² + 5A = 3E ,则 A^-1 = ? , (A - 3E)^-1 = ?

(1)解：由已知得  
A²+5A=3E
-> A(A+5E) = 3E
-> A(A+5E)/3 = E

所以 A 可逆，且A-1 = (A+5E)/3。

(2)解：由已知得  
A²+5A=3E
-> A²+5A-3E = 0
-> A(A-3E) + 8A -3E = 0
-> A(A-3E) + 8(A-3E) + 21E = 0
-> (A-3E)[-(A+8E)]/21 = E

所以 A-3E 可逆，且 (A-3E)-1 = -(A+8E)/21 

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例题3

设矩阵A = , B为3阶矩阵，且满足 2B^-1A + 4E = A, 证明： B - 2E 可逆，并求 (B-2E)^-1 。

解:由已知得  
2B-1A + 4E = A  
-> (两边同时左乘B)   
-> 2BB-1A + 4B = AB  
-> 2A + 4B - AB = 0  
-> 2A - AB + 4B = 0  
-> A(2E-B) + 4B = 0  
-> A(2E-B) + 4(B-2E) + 8E = 0  
-> -A(B-2E) + 4(B-2E) = -8E  
-> A(B-2E) - 4(B-2E) = 8E  
-> (A-4)(B-2E) = 8E  
-> (A-4)/8 * (B-2E) = E  

所以 (B-2E)-1 可逆，且 (B-2E)-1 = (A-4)/8   
又因为A矩阵已知，代入即可得出结果。

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先斩后奏法

例题1

设矩阵A = , B为3阶矩阵，且满足 2B^-1A + 4E = A, 证明： B - 2E 可逆，并求 (B-2E)^-1 。

解题思路：
不妨设 B-1 = 1/b , A = a , E = 1。 
那么原等式可写成
2a/b + 4 = a -- ①,
最后是求 
1/b-2 --- ②


所以就是怎么由 ①得到②
变成了传统数学代数化的求解

-> 两边同时乘 b
-> 2a + 4b - ab = 0
-> 2a + (4-a)b = 0
-> (4-a)b = -2a
-> b = 2a/a-4

所以 1/b-2 = 1/8 * (a-4)
即还原为 
(B-2E)-1 = 1/8 * (A - 4E)

那我们就巧妙的得到了结果，
很显然选择题和填空题可以到这里就结束了
但是 如果是大题怎么办？

我们可以逆推回去。

我们得出的结果
(B-2E)-1 = 1/8 * (A - 4E)
其实可以表达为
(B-2E) * 1/8 * (A - 4E) = E
展开得
BA - 2A - 4B + 8E = 8E
两边消掉 8E
BA - 2A - 4B = 0 -- ③

那么这时候与原来的等式对比
BA - 2A - 4B = 0 -- ③
2B-1A + 4E = A -- ④
就差了一个 B-1
所以 ③ 左乘 B-1
得到 A - 2B-1A - 4E = 0 -- ⑤
那么其实 ⑤ 就是 ④ 移项过来的

那么整个逆推思路已经完成了
所以大题目的正推思路就很明显了
就是类似于上面的常规解法。

例题2

若A是n阶矩阵，满足 A² + 3A - 2E = 0, 则 (A+E)^-1 = ?

按照刚才介绍的思路：
不妨设：
A = a, E = 1,
则求 1/(a+1) = ?

原式: a² + 3a - 2  = 0
开始凑 a+1
-> (a+1)² + a - 3 =0
-> (a+1)² + (a+1) = 4
-> (a+1)(a+2) = 4
-> 1/a+1 = 1/4 * (a+2)
即  (A+E)-1 = 1/4 * (A+2E)
这道题是填空题，所以到这里就结束了
如果是大题，按照上面的思路逆推即可

总结

从上面两题例题都可以感受到凑的魅力。

1. 做多了就明白什么是「不是强硬的凑」。如第一题中拆开括号后 A³-2A²-3A-E=0, 肯定不能强硬的去直接凑(A+E)³, 在我理解就是降阶凑，把 A³ 变为 A² 凑(A+E), 即A³->A²(A+E),这样做的好处是因为等式左边还有一个二阶的，可以进行加减凑。然后二阶又继续降阶凑。

2. 从高次幂到低次幂依次凑。这个在第二题展现的很好，A²->A(A-3E), 8A -3E -> 8(A-3E) + 21E, 虽然我表达的不是很好，但我自己懂了，毕竟是写给自己看的。就这样吧，再遇到比较好的题会继续补充。

3. 当涉及到两个矩阵的时候，要学会右乘或者左乘某个矩阵的逆矩阵达到凑的效果。第三题就能表现出来，从2B-1A + 4E = A 左乘 B 矩阵得到 2A + 4B = AB 。

4. 选择填空题的时候可以优先选择先斩后奏法，强烈推荐！
   
   

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